Résumé
Étant donnée une marche aléatoire à pas borné sur un groupe libre finiment engendré, quel est le comportement asymptotique, lorsque le nombre de pas tend vers l’infini, de la suite des probabilités que la marche aléatoire se trouve en un élément donné du groupe ?Dans cet article, nous répondons à cette question en fournissant un développement asymptotique à tout ordre de la suite des probabilités qu'une marche aléatoire irréductible à pas borné sur un arbre infini de valence bornée se trouve en un sommet donné (voir le Théorème 6.10). Nous travaillerons sous l’hypothèse que chaque sommet de l’arbre a une valence supérieure ou égale à trois, et que l’arbre est muni d’une action cofini d’un groupe d’automorphismes préservant la distribution des pas. La réponse à la question ci-dessus apparaîtra alors comme un corollaire immédiat du théorème précédemment mentionné.Cet article fait partie d’un triptyque avec [Che25a] et [Che25c]. Il s’appuie sur les théorèmes Taubériens développés dans [Che25a], utilisés tout au long du texte pour obtenir les développements asymptotiques. L’étude précise des objets introduits dans ce texte est effectuée dans [Che25c].