Abstract
Le cadre de cet article est celui du programme de Langlands : on réalise les correspondances de Langlands (du moins pour les supercuspidales) et de Jacquet-Langlands locales dans la cohomologie de certains espaces de modules de groupes $p$-divisibles, à savoir la tour dite de Lubin-Tate et la tour des revêtements de Drinfeld. Après avoir présenté les différents objets, de nature locale et globale (variétés de Shimura et variétés modulaires de Drinfeld), on explicite les résultats de Boyer-Harris-Taylor et de Hausberger-Harris sur la cohomologie des deux tours et on indique les grandes lignes des preuves. Cela répond à une conjecture de Deligne, Drinfeld et Carayol datant de 1990. L'isomorphisme de Faltings-Fargues entre les deux tours est également évoqué ainsi que les travaux de Dat qui donne une réalisation cohomologique de la correspondance de Langlands pour les représentations dites elliptiques en travaillant dans une catégorie dérivée appropriée.