Abstract
Les objets convexes de largeur constante (dans le plan) ou d'épaisseur constante (dans l'espace) ont fait l'objet d'une attention soutenue de la part des mathématiciens du XIXe comme du XXe siècle, y compris par les plus célèbres d'entre eux (H. Minkowski, H. Lebesgue, W. Blaschke, A. Hurwitz, etc.). Malgré tous les efforts déployés et le nombre de résultats obtenus, certains problèmes posés depuis longtemps à propos de ces objets convexes restent encore ouverts. Les techniques modernes comme celles issues du calcul variationnel ou du contrôle optimal ont néanmoins permis soit de retrouver d'une nouvelle manière des résultats déjà démontrés, soit d'en améliorer significativement certains autres. Dans cet article, qui se veut de synthèse et à but essentiellement pédagogique, nous passons en revue les propriétés et caractérisations essentielles, plutôt de type " variationnel ", des corps convexes de largeur constante (en 2D) ou d'épaisseur constante (en 3D), en insistant sur les différences fondamentales en 2D ou 3D ; ce faisant, nous arrivons sur le front de la recherche récente sur les problèmes restés ouverts, en particulier la conjecture sur le corps convexe de l'espace d'épaisseur constante donnée et de volume minimal.