Résumé
In this article, we wish to investigate the behavior of a two-layer k - ε turbulence model from the mathematical point of view, as this model is useful for the near-wall treatment in numerical simulations. First, we explain the difficulties inherent in the model. Then, we present a new variable θ that enables the mathematical study. Due to a problem of definition of the turbulent viscosity on the wall boundary, we consider an alternative version of the original equation. We show that some physical aspects of the model are preserved by the new formulation, and in particular, we show how the physicists can help us to prove the existence of a solution of our problem. Finally, we are interested in the Navier-Stokes equations coupled with the modified turbulence model and we show that the alternative model may be preferred to the original one, because of its good properties (existence of a solution of the coupled problems).
L'objectif de cet article est l'étude du modèle de turbulence k - ε bi-couche qui est utilisé pour le traitement des régions situées près de la paroi dans les simulations numériques. Dans un premier temps, nous expliquons les difficultés engendrées par le modèle de turbulence bi-couche du point de vue numérique. Nous présentons une nouvelle variable θ et nous nous intéressons à son équation. L'étude mathématique est présentée et, à cause de la singularité de la viscosité turbulente à la paroi, nous nous intéressons à une version alternative du problème original. Nous vérifions les caractéristiques physiques du modèle de turbulence. En nous inspirant des résultats physiques, l'on déduit des estimations nécessaires pour prouver l'existence de la solution de notre problème initial. Enfin, nous nous intéressons au couplage de ce modèle de turbulence avec les équations de Navier-Stokes et nous montrons que le modèle alternatif doit être préféré au modèle original (existence d'une solution pour les problèmes couplés).