Abstract
We give an upper bound on the growth rate of the Schrödinger group on Zhidkov spaces. In dimension 1, we prove that this bound is sharp. To cite this article: C. Gallo, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006). 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé Taux de croissance du groupe de Schrödinger sur les espaces de Zhidkov. On donne une borne supérieure au taux de croissance du groupe de Schrödinger sur les espaces de Zhidkov. En dimension 1, on montre que cette borne est optimale. Pour citer cet article : C. Gallo, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006). Les équations de Schrödinger non linéaires défocalisantes, comme l'équation de Gross-Pitaevskii, admettent des ondes progressives non nulles à l'infini, appelées dark solitons [1-3,5,7,8]. Ces solutions interviennent dans de nom-breux contextes physiques, en particulier en optique non linéaire (voir [6]) et dans l'étude de la superfluidité. Afin de mieux comprendre le comportement asymptotique en temps des solutions de ces équations, notamment à proximité des dark solitons, il est intéressant d'étudier l'effet du propagateur de Schrödinger sur un espace qui contient ces dark solitons. On s'intéresse ici à l'équation de Schrödinger linéaire sur R n i ∂u ∂t + u = 0, (t,x)∈ R × R n , u(0) = u 0 (1) avec données non nulles à l'infini. Dans [4], on montre que (1) est bien posée sur les espaces de Zhidkov X k R n := u ∈ L ∞ R n , ∇u ∈ H k−1 R n , sous la condition k > n/2. On améliore ici l'estimation montrée dans [4] sur le taux de croissance du groupe de Schrödinger sur X k (R n) (noté S(t)). Plus précisément, on montre qu'il existe une constante C > 0 telle que