Résumé
We compute the first order correction of the effective viscosity for a suspension containing solid particles with arbitrary shapes. We rewrite the computation as an homogenization problem for the Stokes equations in a perforated domain. Then, we extend the method of reflections [14,20] to approximate the solution to the Stokes problem with a fixed number of particles. By obtaining sharp estimates, we are able to prove that this method converges for small volume fraction of the solid phase whatever the number of particles. This allows to address the limit when the number of particles diverges while their radius tends to 0. We obtain a system of PDEs similar to the Stokes system with a supplementary term in the viscosity proportional to the volume fraction of the solid phase in the mixture.
Cet article a pour objectif de déterminer la correction au premier ordre de la viscosité d'un fluide due à un nuage de particules solides de formes arbitraires qu'il transporte. Nous réécrivons le calcul comme un problème d'homogénéisation pour les équations de Stokes dans un domaine perforé. Nous étendons la méthode des réflections [14,20] afin d'approcher la solution du problème avec un nombre fini de particules. Nous montrons que cette méthode converge indépendamment du nombre de particules à petite fraction volumique de la phase solide ce qui nous permet d'envisager le calcul de la limite quand le nombre de particules diverge alors que leurs rayons tendent vers 0. Nous justifions dans ce régime un système de Stokes où la viscosité est modifiée proportionnellement à la fraction volumique de la phase solide sur le domaine qu'elle occupe.