Résumé
Le but de cet article est la preuve de la correspondance de Jacquet–Langlands locale en caractéristique non nulle. Si
F est un corps local de caractéristique non nulle et
G′ est une forme intérieure de
GL
n
(
F), on construit un parallèle entre la théorie des représentations de
G′ et celle d'une forme intérieure de
GL
n
(
L) respectivement, où
L est un corps local de caractéristique nulle, proche de
F au sens de [17]. La correspondance de Jacquet–Langlands entre
G′ et
GL
n
(
F) est prouvée en utilisant cette construction et les idées développées déjà par Deligne, Kazhdan et Vignéras [10] pour la preuve en caractéristique nulle. Nous obtenons au passage les résultats suivants, connus jusqu'ici uniquement en caractéristique nulle : le théorème d'orthogonalité des caractères pour
G′, des relations entre le conducteur et le niveau d'une représentation de
G′, ainsi qu'un théorème de finitude pour les représentations automorphes cuspidales d'une forme intérieure de
GL
n
sur un corps global de caractéristique non nulle.
In this article we prove the Jacquet–Langlands local correspondence in non-zero characteristic. Let
F be a local field of non-zero charactersitic and
G′ an inner form of
GL
n
(
F); then, following [17], we prove relations between the representation theory of
G′ and the representation theory of an inner form of
GL
n
(
L), where
L is a local field of zero characteristic close to
F. The proof of the Jacquet–Langlands correspondence between
G′ and
GL
n
(
F) is done using the above results and ideas from the proof by Deligne, Kazhdan and Vignéras [10] of the zero characteristic case. We also get the following, already known in zero characteristic: orthogonality relations for
G′, inequality involving conductor and level for representations of
G′ and finiteness for automorphic cuspidal representations with fixed component at almost every place for an inner form of
GL
n
over a global field of non-zero characteristic.