Abstract
L'objectif de ce travail est de donner un traitement détaillé de la construction du caract ere de Chern pour certaines familles en catégories (esquissée dans l'article [To-Ve1]). Pour cela nous introduisons, et etudions, la notion d'∞-catégorie mono¨dale symétrique rigide. Nous construisons un morphisme de trace dans ce cadre, qui est un morphisme de l'∞-groupo¨de des endomorphismes d'objets dans une telle ∞-catégorie vers celui des endomorphismes de l'unité. En utilisant le travail récent d'Hopkins-Lurie sur l'hypoth ese du cobordisme (voir [Lu2]) nous montrons de plus que ce morphisme de trace satisfait une propriété remarquable d'invariance cyclique. Nous util-isons l'existence de cette trace cyclique afin de construire un caract ere de Chern, défini pour tout couple (T, A) formé d'un ∞-topos T et d'un champ A en ∞-catégories mono¨dales symétriques rigides. Nous présentons deux applications de notre construction générale , obtenues en spécifiant le couple (T, A). Nous montrons d'une part comment on peut retrouver le caract ere de Chern des complexes parfaits a valeurs dans l'homologie cyclique et comment notre construction permet de l'´ etendre de façon pertinente au cas des complexes parfaits sur des champs algébriques d'Artin. Enfin, nous montrons comment notre caract ere de Chern permet de construire des invariants de familles algébriques de dg-catégories. Une conséquence de l'existence de ces invariants est la construction d'une connexion de Gauss-Manin sur le complexe d'homologie cyclique d'une telle famille généralisant les constructions de [Ge, Do-Ta-Ts]. Nous montrons aussi comment on peut construire le faisceaux des caract eres d'une représentation d'un groupe algébrique dans une dg-catégorie, qui est catégorification de la fonction caractère d'une représentation linéaire ainsi qu'une extension au cas dg-catégorique de la construction de [Ga-Ka]. Pour finir, lorsque l'on dispose d'une famille de dg-catégories saturées nous construisons un caractère de Chern secondaire, dont l'existencé etait annoncée dans [To-Ve1], et a valeurs dans une nouvelle théorie cohmologique que nous appelons l'homologie cyclique secondaire.