Résumé
Dans cette thèse, on s'intéresse à la technique de sérendipité pour les complexes discrets. Les complexes de Hilbert jouent un rôle important dans la construction des schémas numériques stables pour certains EDPs, puisqu'ils présentent des propriétés fondamentales garantissant cette stabilité. C'est pourquoi, on cherche à discrétiser ces complexes sur des maillages polytopaux, tout en reproduisant au niveau discret ces propriétés.Cependant, les versions discrètes de ces complexes présentent un grand nombre de degrés de liberté (DOF, de l'anglais \emph{Degrees of Freedom}). D'où la technique de sérendipité qui consiste à réduire le nombre de DOFs dans les espaces discrets, tout en préservant toujours les propriétés algébriques et analytiques essentielles à la stabilité des schémas numériques. Ceci permet de réduire le coût de calcul sans modifier le taux de convergence.Ainsi, le travail de cette thèse, illustré essentiellement par deux articles, a pour but de construire des versions discrètes de certains complexes avec moins de DOFs. La première contribution porte sur le complexe bidimensionnel divdiv, pour lequel on construit, à partir d'une version discrète de ce complexe, une version discrète de sérendipité (avec moins de DOFs), et on montre qu'elle présente les mêmes propriétés que la version initiale. La deuxième contribution présente la construction d'un complexe discret de sérendipité à partir de trois complexes: étant donné un complexe discret, sa version sérendipité et une variante de ce complexe à régularité supplémentaire, on construit la version sérendipité de ce dernier.Enfin, la dernière contribution ouvre la voie à d'autres sujets, on propose une méthode HHO pour le problème de Brinkman pour les fluides non newtoniens, et on présente une estimation de l'erreur valable dans tous les régimes (du Darcy pur au Stokes).