Résumé
Félix Klein a mis en avant une double discontinuité dans le parcours d’étude en mathématiques : outre la transition secondaire-supérieur, une seconde discontinuité a lieu à la sortie de l’université lorsqu’un étudiant devient enseignant de mathématiques dans le secondaire. Ce dernier perçoit difficilement , en général, les relations entre les mathématiques enseignées au secondaire et les connaissances universitaires.Cette thèse, qui s’inscrit dans le champ de la didactique des mathématiques, a pour but l’étude de la seconde discontinuité de Klein en la particularisant à un objet de sa- voir : l’intégrale. Ce concept mathématique est enseigné en terminale en France, puis à l’université durant les trois premières années. Plusieurs théories de l’intégration sont étudiées dans le supérieur et les étudiants perçoivent en général assez mal les liens entre ces théories, ainsi qu’avec l’intégrale du lycée. Afin d’analyser les différents phénomènes didactiques qui en résultent, nous plaçons notre étude dans la perspective institutionnelle de la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD).Dans un premier temps, nous donnons une revue des travaux en didactique des ma- thématiques portant sur la seconde discontinuité de Klein ainsi que sur l’intégrale, ces derniers se limitant à la transition secondaire-supérieur. Puis nous présentons une étude épistémologique des principales théories de l’intégration qui sont rencontrées dans l’enseignement. Nous poursuivons avec l’étude de l’enseignement de l’intégrale à l’université en France, notamment la transposition didactique externe au sens de la TAD. Nous faisons état des débats qui ont eu lieu dans la noosphère (la communauté des mathématiciens) quant au choix des théories de l’intégration enseignées en licence et nous les mettons en regard avec ceux opérés par un panel d’universités. Les différents syllabus d’unités d’enseignements liées à l’intégrale sont étudiés à l’aide des outils de l’écologie des savoirs.Notre étude de la transposition didactique de l’intégrale se particularise ensuite au cas de l’université de Montpellier. Des interviews d’enseignants-chercheurs nous permettent d’éclairer les raisons des choix des théories enseignées. L’étude praxéologique des documents de cours en deuxième et troisième années de Licence nous permettent de modéliser les connaissances des étudiants (leur équipement praxéologique) sous la forme de modèles praxéologiques dominants (au sens de la TAD). La mise en regard avec un modèle praxéologique dominant pour l’intégrale du lycée nous permet ensuite de pointer des liens et des ruptures dans ces ensembles de connaissances, en termes des blocs constitutifs des praxéologies mobilisant le concept d’intégrale. En particulier, nous montrons que la théorie intuitive des aires qui fonde l’intégrale du lycée n’est pas formalisée à l’université, outre la théorie de la mesure - d’un niveau de généralité et d’abstraction bien supérieur.De fait, notre enquête épistémologique nous a permis d’identifier une théorie intermédiaire, la mesure de Jordan, à partir de laquelle nous avons élaboré une ingénierie qui vise à rendre visibles les liens entre théorie de la mesure, intégrale de Riemann et théorie intuitive de l’aire. Ces relations sont décrites en termes de blocs des praxéologies. Ceci nous conduit à introduire la notion de praxéologies de Klein, lesquels visent un rapport intégrateur aux savoirs enseignées à l’université et dans le secondaire, et à préciser les organisations didactiques associées en adaptant les moments de l’étude de la TAD. Notre ingénierie, construite sous la forme d’une activité d’étude et de recherche au sens de la TAD, a été expérimentée dans le cadre du Master MEEF. Les analyses du travail des étudiants, menées avec les différents outils de la TAD (questiongramme, schéma herbartien et moments de l’étude), confirment les potentialités de notre dispositif tout en mettant en évidence des obstacles au développement des praxéologies de Klein.