Résumé
Cette thèse porte sur la simulation numérique de systèmes physiques pouvant être décrits comme des capsules entourées par une membrane élastique. Une application important est la modélisation de l’écoulement des globules rouges. Lors de la discrétisation des problèmes d’interface, un choix important est de déterminer si le maillage computationnel doit épouser précisément le profil de l’interface ou non. Les méthodes où le maillage suit le profil de l’interface sont dites ajustées (fitted). Ces méthodes ne nécessitent généralement pas de traitement particulier pour les éléments touchant l’interface. En revanche, dans les problèmes instationnaires où le profil de l’interface évolue au cours du temps, un remaillage adap- tatif peut s’avérer coûteux. Pour cette raison, les méthodes non ajustées (unfitted) ont suscité un intérêt croissant. Ces méthodes permettent l’existence d’éléments traversés par l’interface, réduisant ainsi la complexité de la génération du maillage. Toutefois, cela nécessite la mise en place de traitements spécifiques pour les éléments coupés. Dans ce travail, nous présentons deux approches alternatives pour l’estimation d’un champ électrique discontinu autour d’une membrane biologique. La première approche appartient à la catégorie des méthodes non ajustées. Elle est développée dans le cadre d’un environnement de cal- cul destiné à la simulation de la dynamique des érythrocytes, appelé YALES2BIO. Il s’agı̂t d’une plateforme de calcul en volumes finis à grande échelle dédiée à la simulation des écoulements bi- ologiques entièrement résolus. La simulation de l’interaction fluide/membrane repose sur la méthode de la frontière immergée (Immersed Boundary Method), l’une des méthodes non ajustées les plusii éprouvées et particulièrement populaire pour la simulation des membranes biologiques. Motivés par la polyvalence de ce solveur, nous proposons une implémentation permettant la représentation d’un champ électrique discontinu basée sur la méthode des fluides fantômes (Ghost Fluid Method). Bien que l’approche non ajustée soit attrayante pour les raisons mentionnées, un inconvénient ma- jeur est la nécessité de prendre en compte des interfaces qui coupent le maillage de manière défavorable, ce qui peut entraı̂ner un mauvais conditionnement et des instabilités numériques. Pour cette raison, nous proposons également une approche ajustée alternative, basée sur un maillage découpé (cut mesh) constitué d’éléments polygonaux. D’une part, l’utilisation d’éléments polygonaux réduit la complexité de la génération du maillage et permet la représentation d’interfaces courbes. D’autre part, les solveurs conformes les plus répandus sont limités aux éléments triangulaires/tétraédriques. Cela motive l’introduction d’un schéma hybride, tel que la méthode de De Rham discrète (Discrete de Rham Method). Dans la seconde partie de cette thèse, nous présentons et analysons un schéma de De Rham discret pour le traitement des problèmes elliptiques avec conditions d’interface, garantissant une robustesse vis-à-vis des contrastes de conductivité et une convergence optimale.