Résumé
Cette thèse porte sur la simulation numérique de systèmes physiques pouvant être décrits comme des capsules entourées par une membrane élastique. De tels objets constituent un modèle souvent adopté en science des matériaux et en bio-ingénierie pour reproduire les processus impliquant des particules colloı̈dales et des cellules biologiques. Un exemple important est la modélisation de l’écoulement des globules rouges.Plus particulièrement, l’accent est mis sur l’effet mécanique d’un champ électrique sur la membrane d’une interface souple entre des phases fluides aux propriétés électriques contrastées. Cette étude trouve des applications dans le contexte des cytomètres basés sur des mesures d’impédance ou pour caractériser la rhéologie des suspensions de capsules.La modélisation mathématique de ce système physique et l’objectif de réaliser une simulation numérique conduisent à un problème d’intérêt général en analyse numérique : l’approximation d’équations aux dérivées partielles comportant une interface interne à travers laquelle les données sont discontinues. Les problèmes d’interface de ce type sont omniprésents dans les modèles physiques et d’ingénierie. Représenter les conditions de saut et l’évolution des interfaces est une tâche fondamentale pour une vaste catégorie de modèles. Ces problèmes apparaissent notamment dans l’étude des écoulements diphasiques, des transitions de phase et de la propagation des fissures. Un autre domaine où les interfaces jouent un rôle central est la biomécanique, en particulier lorsqu’il s’agit d’étudier la dynamique des membranes biologiques.Outre leur pertinence pour de nombreux modèles physiques, les problèmes d’interface posent également des défis mathématiques importants. Une interface est souvent la région du domaine physique où l’information la plus précieuse est stockée, mais c’est aussi la région où les erreurs numériques les plus importantes sont introduites. Par conséquent, ces problèmes ont suscité un effort considérable de la part de la communauté d’analyse numérique afin de trouver des stratégies de résolution précises mais pratiques.Lors de la discrétisation des problèmes d’interface, un choix important est de déterminer si le maillage computationnel doit épouser précisément le profil de l’interface ou non. Les méthodes où le maillage suit le profil de l’interface sont dites ajustées (fitted). Ces méthodes ne nécessitent généralement pas de traitement particulier pour les éléments touchant l’interface. En revanche, dans les problèmes instationnaires où le profil de l’interface évolue au cours du temps, un remaillage adaptatif peut s’avérer coûteux.Pour cette raison, les méthodes non ajustées (unfitted) ont suscité un intérêt croissant. Ces méthodes permettent l’existence d’éléments traversés par l’interface, réduisant ainsi la complexité de la génération du maillage. Toutefois, cela nécessite la mise en place de traitements spécifiques pour les éléments coupés.Dans ce travail, nous présentons deux approches alternatives pour l’estimation d’un champ électrique discontinu autour d’une membrane biologique. La première approche appartient à la catégorie des méthodes non ajustées. Elle est développée dans le cadre d’un environnement de calcul destiné à la simulation de la dynamique des érythrocytes, appelé YALES2BIO. Il s’agı̂t d’une plateforme de calcul en volumes finis à grande échelle dédiée à la simulation des écoulements biologiques entièrement résolus. La simulation de l’interaction fluide/membrane repose sur la méthodede la frontière immergée (Immersed Boundary Method), l’une des méthodes non ajustées les plus éprouvées et particulièrement populaire pour la simulation des membranes biologiques. Motivés par la polyvalence de ce solveur, nous proposons une implémentation permettant la représentation d’un champ électrique discontinu basée sur la méthode des fluides fantômes (Ghost Fluid Method).Bien que l’approche non ajustée soit attrayante pour les raisons mentionnées, un inconvénient majeur est la nécessité de prendre en compte des interfaces qui coupent le maillage de manière défavorable, ce qui peut entraı̂ner un mauvais conditionnement et des instabilités numériques. Pour cette raison, nous proposons également une approche ajustée alternative, basée sur un maillage découpé (cut mesh) constitué d’éléments polygonaux. D’une part, l’utilisation d’éléments polygonaux réduit la complexité de la génération du maillage et permet la représentation d’interfaces courbes. D’autre part, les solveurs conformes les plus répandus sont limités aux éléments triangulaires/tétraédriques. Cela motive l’introduction d’un schéma hybride, tel que la méthode de De Rham discrète (Discrete de Rham Method).Dans la seconde partie de cette thèse, nous présentons et analysons un schéma de De Rham discret pour le traitement des problèmes elliptiques avec conditions d’interface, garantissant une robustesse vis-à-vis des contrastes de conductivité et une convergence optimale.