Résumé
Cette thèse est consacrée à la modélisation d'une structure constituée de l'assemblage de deux solides Ω+ et Ω− à l'aide d'une couche mince (d'épaisseur d'ordre ε) très rigide (d'ordre 1/ε), où ε est un petit paramètre. Différentes situations et considérations sont prises en compte. Dans un premier temps, on se place dans le cadre de l'élasticité linéaire. Une analyse asymptotique formelle conduit à un problème posé sur Ω+UΩ-US où S est l'intersection des frontières . Nous nous intéressons dans cette partie aux deux aspects suivants : - Prise en compte de la géométrie et de la rigidité de la couche intermédiaire : résultats de convergence faible et forte pour des modèles de plaques et de coques ; - Proposition de méthodes de résolution numérique par décomposition de domaine ou avec pénalisation. Nous proposons ensuite une modélisation dans un cadre plus général et obtenons dans le cadre de la Γ-convergence, un modèle en élasticité linéaire non isotrope et un modèle en élasticité non linéaire. Lorsque le matériau dans la couche rigide présente des transitions de phase solide/solide, sa densité d'énergie g possède plusieurs puits de potentiel rendant compte de microstructures. Pour modéliser ces microstructures, il convient de réécrire l'énergie dans la couche en terme de mesures de Young. L'énergie de la structure est alors donnée par une bifonctionnelle ayant pour argument un couple déplacement-mesure de Young. Une des deux fonctions marginales de la fonctionnelle limite nous redonne l'énergie (classique) du modèle limite obtenu précédemment par Γ-convergence . Nous pouvons également réécrire l'énergie de toute la structure en terme de mesures de Young. Nous montrons alors comment les solutions du problème formulé en terme de mesures de Young donnent une description microscopique des solutions classiques. Enfin, lorsque la couche mince a un comportement plastique, des difficultés liées à la croissance linéaire de l'énergie de densité g apparaissent. En s'inspirant des méthodes de régularisation de Norton-Hoff, nous étudions le cas où g est à croissance d'ordre p, 1< p <2, la densité d'énergie f dans le reste de la structure étant à croissance d'ordre 2. Nous obtenons un premier modèle limite lorsque ε tend vers 0. Nous étudions ensuite la Γ-convergence de la fonctionnelle limite obtenue lorsque p tend vers 1. Mots clés : élasticité, multi-matériau, Γ-convergence, analyse asymptotique, mesures de Young.