Abstract
La géométrie discrète a pour but de définir un analogue de la géométrie euclidienne classique sur l'espace discret Z^d. Cet objectif n'est pas uniquement théorique puisque les images numériques sont des matrices de pixels, soit des objets discrets. Dans ce cadre, J.-P. Reveillès a défini la droite discrète arithmétique comme l'ensemble des points à coordonnées entières dans une bande d'épaisseur donnée. Cette épaisseur permet de caractériser des propriétés topologiques fondamentales de la droite comme sa connexité ou le fait qu'elle sépare le plan en deux composantes connexes distinctes. Ces résultats s'étendent en dimension supérieure et l'épaisseur est alors suffisante pour caractériser les hyperplans discrets arithmétiques séparants. Au contraire, leur connexité reste mal maîtrisée. Nous proposons donc une solution arithmétique à ce problème.<br /><br />Sur le modèle des droites et des hyperplans discrets, il serait aussi bienvenu de disposer de caractérisations analytiques pour des objets plus complexes, à savoir, les hypersurfaces. Jusqu'ici, seule l'utilisation d'une épaisseur constante a été étudiée. Elle permet notamment de définir des hypersphères discrètes pavant l'espace. Les notions d'ensembles connexes ou d'ensembles séparants minimaux restent néanmoins hors d'atteinte. Pour répondre à ce problème, nous proposons différents modèles de discrétisation pour les hypersurfaces permettant d'approcher la minimalité. Ils conduisent à des expressions analytiques utilisant une épaisseur non constante. En particulier, leur application aux hypersphères permet de retrouver les définitions de cercles algorithmiques déjà existantes, comme celle de J. Bresenham, et de définir une classe d'hypersphères discrètes séparantes et minimales.