Résumé
Cette thèse est centrée sur l'analyse de l'équation de Schrödinger non-linéaire avec non-linéarité logarithmique (logNLS). Dans un premier temps, nous étudions le comportement en temps long en régime défocalisant, dont un comportement universel a été observé. Nous précisons ce comportement par une vitesse de convergence optimale en distance de Wasserstein (aussi appelée distance de Kantorovich-Rubinstein). Nous montrons en parallèle que les propriétés de cette équation permettent d'obtenir via la transformée de Wigner un objet limite à la limite semi-classique vérifiant également le même comportement en temps long. Cette commutation entre limite semi-classique et comportement en temps long est une caractéristique inhabituelle pour une équation de Schrödinger. Par la suite, nous nous intéressons au régime focalisant, et plus particulièrement aux interactions entre solitons (qui sont dans ce cadre des fonctions gaussiennes appelées Gaussons) et même plus généralement entre les solutions gaussiennes explicites que cette équation admet. Nous montrons d'abord qu'une solution de logNLS ayant pour donnée initiale une somme de gaussiennes éloignées entre elles reste proche de la somme des solutions gaussiennes correspondantes jusqu'à un temps de l'ordre du carré de la distance minimale entre les gaussiennes. Ensuite, nous démontrons l'existence de multi-Gaussons et même de multi-gaussiennes (solution se comportant en temps grand comme une somme de solutions gaussiennes) ayant une vitesse de convergence plus rapide qu'exponentielle, ainsi que leur unicité sous cette hypothèse de vitesse de convergence. Pour finir, nous effectuons une analyse BKW de cette équation. Les équations limites de cette analyse étant le système d'Euler isotherme, dont la résolution a été faite via les variables de Riemann, nous établissons une théorie de Cauchy en utilisant des inconnues similaires aux variables de Riemann, correspondant à des solutions de la forme [...] pour logNLS dans un cadre semi-classique, sous hypothèse d'analycité. Nous montrons en outre que ces variables convergent à la limite semiclassique, et que les fonctions limites sont solutions du système d'Euler isotherme sous la forme "variables de Riemann".