Résumé
Cette thèse de doctorat porte sur l’étude du couplage des modèles de Saint-Venant non linéaires à différentes échelles, appliqué à la simulation numérique d’inondations urbaines. Des simulations précises dans ce domaine ont, en général, un coût computationnel prohibitif dû aux petites tailles de maille nécessaires pour la discrétisation spatiale de la géométrie urbaine et, par conséquent, les petits pas de temps restreints par des conditions de stabilité. Au cours des deux dernières décennies, des modèles de Saint-Venant à porosité ont été proposés comme une alternative, s’agissant des modèles à échelle élargie utilisant des mailles et des pas de temps plus grands, et capables de fournir des bonnes approximations globales aux solutions des modèles fins, avec un temps de calcul considérablement plus petit. Néanmoins, certains phénomènes à petite échelle ne sont pas capturés par ce type de modèle. Nous cherchons donc à formuler un modèle numérique couplant les modèles à petite et à large échelle, afin d’obtenir des solutions plus précises à l’intérieur des zones urbaines, toujours avec des temps de calcul plus petits par rapport à la simulation des modèles fins. La ligne directrice de ce travail est l’utilisation de méthodes itératives de parallélisation en temps, du type prédicteur-correcteur, qui s’adaptent naturellement à cette formulation fin/grossier. Nous nous concentrons sur la méthode Pararéel (parareal method), une des méthodes de parallélisation en temps les plus connues. Comme défi majeur, la parallélisation en temps présente en général des instabilités et une convergence lente dans le cadre de la résolution de problèmes hyperboliques ou dominés par l'advection, comme les équations de Saint-Venant. Nous considérons donc une variante de la méthode qui incorpore des modèles d’ordre réduit (Reduced-Order models - ROMs) formulés à la volée au cours des itérations de la méthode Pararéel, utilisant la décomposition orthogonale aux valeurs propres (Proper Orthogonal Decomposition - POD) et la méthode d'interpolation empirique (Empirical Interpolation Method - EIM), et capable d’améliorer la stabilité et la convergence de la méthode pour la résolution de problèmes hyperboliques non linéaires. Nous étudions les limitations de cette méthode Pararéel basée sur des ROMs et nous proposons des modifications qui fournissent des améliorations additionnelles à la stabilité et la convergence : l’enrichissement des données d’entrée pour les techniques de réduction de modèle ; la formulation des ROMs locaux en temps ; et l’incorporation d’une méthode Pararéel adaptative proposée récemment dans la littérature. La méthode Pararéel originale et celle basée sur des modèles réduits, y compris les modifications proposées, sont comparées et évaluées en termes de stabilité, convergence vers la solution du modèle fin et accélération de la simulation numérique obtenue dans une implémentation parallèle. Dans un premier temps, les méthodes et améliorations proposées sont formulées, étudiées et implémentées en considérant des simulations numériques couplant les équations de Saint-Venant classiques (sans le concept de porosité) à différentes échelles. Après cette étude initiale, nous appliquons les méthodes au couplage des équations classiques et des équations à porosité, pour la simulation d’inondations urbaines.