Abstract
Cette thèse s'intéresse à l'arithmétique modulaire qui est utilisée dans différents domaines : traitement du signal, algorithmique, cryptologie... Dans cette thèse, nous nous focalisons sur l'arithmétique modulaire pour la cryptographie. En particulier, nous essayons de voir ce qui peut être fait pour optimiser les différents protocoles de la cryptographie à clé publique.<br />Cette thèse se divise en quatre parties.<br />La première partie est une introduction à la cryptographie à clé publique. Cette thèse ayant pour objectif d'améliorer les calculs modulaires, nous commençons par présenter dans quels contextes la cryptographie nécessite une arithmétique modulaire efficace. Les principaux protocoles (de ECC ou RSA) ont des besoins en arithmétiques modulaires.<br />La deuxième partie est un état de l'art sur les différents algorithmes existants pour effectuer une arithmétique modulaire complète : addition, inversion et multiplication. Nous y répertorions aussi les différentes classes de moduli existantes. Celle ci sont utilisées en particulier pour l'implantation des protocoles d'ECC.<br />Dans la troisième partie, nous proposons un nouveau système de représentation. Nous y exposons les outils algorithmiques pour effectuer une arithmétique optimisée pour une classe de moduli, ainsi que ceux nécessaires à une arithmétique modulaire pour tous les autres moduli.<br />Dans la dernière partie, nous regroupons plusieurs résultats concernant l'arithmétique modulaire pour de "petits" moduli. Nous proposons un algorithme de multiplication modulaire pour modulo variable, une amélioration des changements de base pour le RNS ainsi qu'une algorithmique basée sur une table mémoire.