Résumé
Dans cette thèse nous considérons des équations aux dérivées partielles non-locales, et des équations intégro-différentielles, qui servent de modèles pour la biologie évolutive. L'objectif est de faire une analyse mathématique rigoureuse des phénomènes d'extinction, de survie et d'invasion dans ces modèles puis d'en retirer une interprétation biologique pertinente. Dans un premier temps, nous envisageons une population affrontant un gradient environnemental linéaire, i.e. le trait optimal dépend linéairement de la position en espace (par exemple la température selon l'axe Nord-Sud). On montre que, sous certaines conditions sur la donnée initiale, la solution se propage en espace en accélérant. Nous donnons également une estimation fine de la position asymptotique des ensembles de niveau de la solution. Dans un deuxième temps, nous considérons un modèle avec un gradient environnemental non-linéaire. Par des techniques de perturbation, nous construisons des états stationnaires et, lorsque le gradient est périodique, des fronts pulsatoires. Notre analyse révèle ainsi comment la répartition à l'équilibre de la population et sa dynamique d'invasion sont affectées par le gradient non-linéaire. Enfin, nous introduisons de nouveaux modèles de diffusion non-locale, hétérogène et anisotrope. Nous en étudions les liens avec des modèles de diffusion locale présents dans la littérature ainsi que les états stationnaires. Notre approche fait intervenir la notion de “points décideurs”, et apporte un éclairage nouveau sur la “position préférentielle des individus”.