Résumé
Lorsque nous proposons en formation des enseignants de mathématiques de travailler sur la négation, une réponse fréquente est que ce n’est pas nécessaire, car la négation est une notion simple, que les élèves utilisent depuis l’école primaire. Si tel était le cas, on pourrait s’attendre à ce que les élèves en fin d’études secondaires aient une maitrise de la négation suffisante pour les besoins de l’activité mathématique sur laquelle il serait possible de s’appuyer à l’entrée dans l’enseignement supérieur. Or dans le cadre des travaux que nous conduisons en didactique et épistémologie des mathématiques, nous avons montré que ce n’est pas le cas (Durand-Guerrier, 2013). En effet on observe des difficultés persistantes à nier les énoncés quantifiés chez les étudiants et chez les enseignants en formation initiale et continue. Nous faisons l’hypothèse que ces difficultés persistantes sont l’indice qu’il y a des difficultés qui tiennent à la complexité de la notion elle-même qui, au-delà de son apparente simplicité, articule dans ses usages les aspects syntaxique, sémantique et pragmatique au sens de Morris (1938). Pour mettre en évidence cette complexité, nous présentons tout d’abord les principaux résultats d’une étude épistémologique circonscrite (Aristote, Frege 1971, Russell 1903, Tarski 1933) conduite par I. Ben Kilani dans le contexte tunisien comme préalable à son étude didactique (Durand-Guerrier et Ben Kilani, 2004). Après avoir rappelé quelques résultats sur les ambiguïtés sémantiques liées à la négation, nous montrons l’intérêt d’une analyse logique des énoncés mathématiques pour mettre en lumière les difficultés potentielles que pourraient rencontrer les élèves et les étudiants lorsqu’ils doivent nier un énoncé mathématique mettant en jeu une quantification implicite ou explicite. Nous présentons ensuite quelques résultats appuyés sur des données empiriques montrant que les difficultés identifiées a priori par nos analyses sont bien réelles pour les étudiants scientifiques arrivant à l’université, et qu’elles sont renforcées en situation de bilinguisme.